Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(CESCEM - 1977) Um subconjunto $\,\mathbb{X}\,$ de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de $\,\mathbb{X}\,$ é:

a) 32
b) 27
c) 24
d) 22
e) 20


 



resposta: (D)
×
(PUC) - O conjunto
$\phantom{X}A\,=\,\lbrace\,x\;\vert \;x\,=\,\dfrac{(n + 1)^2 - (n - 1)^2}{2}, n\in \mathbb{N} \rbrace$
equivale:
a)
ao conjunto dos quadrados naturais.
b)
ao conjunto dos pares positivos.
c)
ao conjunto dos quadrados dos números ímpares.
d)
ao conjunto vazio.
e)
ao conjunto dos naturais não nulos.

 



resposta: (B)
×
(OSEC) Sendo $\;a$, $b\;$ e $\;c\;$ três números distintos tais que {$\;a\;$, $\;b$, $\;c\;$} $\in \mathbb{N^*}\;$, então, a expressão $\;(9a\,+\,6b\,-\,156)\centerdot 4a\;$ é sempre divisível por:
a)
9
b)
6
c)
15
d)
30
e)
0

 



resposta: Alternativa B
×
(FUVEST) O número 143 é:
a)
quadrado de um número natural.
b)
produto de dois números pares.
c)
primo.
d)
divisível por 13.
e)
um divisor de 1431.

 



resposta: Alternativa D
×
(SANTA CASA) O M.M.C. de $\;(x^2\,-\,y^2)\,$,$\;(x^2 + 2xy + y^2)\;$ e $\;(x^3 + y^3)$ é dado por:
a)
$(x + y)^2(x - y)(x^2 - xy + y^2)$
b)
$(x + y)(x - y)^2(x^2 - xy + y^2)$
c)
$(x + y)^4(x - y)(x^2 - xy + y^2)$
d)
$(x + y)^2(x - y)^2 (x^2 - xy + y^2)^2$
e)
$(x + y)(x^2 - y^2)^2 (x^2 - xy + y^2)^2$

 



resposta: A nota: M.M.C. = mínimo múltiplo comum.
×
(OSEC) Escolha a alternativa correta:
a)
Sendo dada a expressão algébrica $\;a^2\,-\,5a\,+\,6\;$, conclui-se que $\;a\,=\,2\;$ ou $\;a\,=\,3\;$.
b)
Qualquer que seja o número $\;a \in \mathbb{N},\,a \neq 0\;$, tem-se que $\;a\;$ é múltiplo e divisor de $\;a\;$
c)
Todo número real $\;a\;$ é múltiplo e divisor de $\;1\;$.
d)
Qualquer que seja o número real $\;a\;$, tem-se que $\;a\;$ é múltiplo e divisor de $\;a\;$.
e)
Nenhuma das anteriores é correta.

 



resposta: (B)
×
(FAAP) Sendo $\phantom{X}(\mu - a)\phantom{X}$ e $\phantom{X}(\mu + a)\phantom{X}$ dois números primos (isto é, são naturais maiores que $1$ e só divisíveis por eles mesmos e pela unidade), então, podemos afirmar que:
a)
$\mu ^2 - a^2\;$ é primo.
b)
$\mu\;$ e $\;a\;$ são primos.
c)
$\mu^2 + a^2\;$ é primo.
d)
$(2\mu)\;$ pode ser escrito como soma de 2 primos.
e)
n.d.a.

 



resposta: (D)
×
Numa sequência de três números naturais (a , b , c) , os termos são chamados de "Números Pitagóricos" se forem tais que c² = a² + b² .
Assinale a alternativa onde só existem Números Pitagóricos:
a)
(1 , 1 , 1) ;
(3 , 4 , 5);
(8 , 9 , 12);
(3 , 7 , 10);
(4 , 6 , 8);
b)
(3 , 4 , 5) ;
(5 , 12 , 13) ;
(6 , 8 , 10) ;
(15 , 17 , 21) ;
(7 , 24 , 25) ;
c)
(2 , 3 , 4) ;
(6 , 8 , 10) ;
(16 , 18 , 20) ;
(10 , 20 , 30) ;
(20 , 30 , 50) ;
d)
(8 , 9 , 10) ;
(10 , 12 , 14) ;
(12 , 13 , 20) ;
(10 , 20 , 40) ;
(18 , 22 , 30) ;
e)
N.D.A.

 



resposta: alternativa E
×
(FUVEST - 1977) Sorteiam-se dois números naturais ao acaso entre 101 e 1000, inclusive, com reposição. Calcule a probabilidade de que o algarismo das unidades do produto dos números sorteados não seja zero.

 



resposta: 73%

×
(CESCEA - 1972) A soma de todos os números naturais compreendidos entre 100 e 200, e tal que o resto da divisão de cada um deles por 5 seja 2 é:
a)
2990
b)
2691
c)
2713
d)
2027
e)
não sei

 



resposta: (A)
×
a)
Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, no total, com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?
 
b)
Quantos números ímpares de três algarismos distintos podem ser formados, no total, com os algarismos 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?
 
c)
Quantos números naturais e de três algarismos distintos podem ser formados, no total, com os algarismos de 1 a 9 ?
 
d)
Quantos números naturais e de três algarismos distintos existem, no total, no sistema decimal de numeração?
 
e)
Quantos números naturais pares e de três algarismos distintos existem, no total, no sistema decimal de numeração?
 

 



resposta: a)A6,3 = 6×5×4 = 120 b) 80 c) 504 d) 648 e) 328
×
a)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
b)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos e em ordem crescente, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?
c)
Quantos números naturais, de três algarismos distintos e em ordem decrescente, podem ser formados, no total, com os algarismos 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 e 8 ?

 



resposta: a) 180 b) 20 c) 35
×
Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados, ao todo, no sistema decimal de numeração?

 



resposta: 900
×
(FUVEST - 2019) Resolva os três itens abaixo.
a)
O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.
b)
Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.
c)
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n + 1) , qualquer que seja n ≥ 1 . Encontre o vigésimo termo dessa progressão.

 



resposta:

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é an = a1.qn - 1

a) De acordo com o enunciado
$\require{cancel}$$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,15\;& \\ a_3\,=\,45\;& \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,a_3\,=\,a_1\,q^{3\,-\,1}\;\Longleftrightarrow$ $\;45\,=\,5\,q^2\;\Longleftrightarrow$ $\,q_1\,=\,3\;\,{\text e}\;\cancel{\,q_2\,=\,-3\,}$(a razão é positiva).
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula $\,\boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\;a_1\,(\,q^n\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}\;}\,$.
No enunciado $a_1$ é 5 e a razão $q$ nós calculamos e é igual a 3
. Vamos calcular os 6 primeiros termos:
$\,S_6\,=\,\dfrac{\;5\,(\,q^6\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}$ $\,=\,\dfrac{\;5\,(\,3^6\,-\,1\,)\;}{3\,-\,1}\,=\,1820$
b) A pergunta refere-se aos termos inteiros positivos entre 0 e 112, então o intervalo de números naturais é de 1 até 111, incluindo os extremos.
1. A soma de todos os inteiros positivos de 1 a 111 é dada por:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,1\phantom{XXXXXXXx} & \\ n\,=\,111\phantom{XXXXXXX} & \\ \boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;} \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,S_{111}\,=\,\dfrac{\,111(1\,+\,111)\,}{2}$ $\;= 6216$
A soma dos 111 primeiros números inteiros é 6216.
2. Vamos dividir 111 por 4 e encontrar quantos números entre 1 e 111 são múltiplos de 4
111
4
31
27
3
Notar que:
● o quociente é 27, então existem 27 múltiplos de 4 entre 1 e 111
● o primeiro número divisível por quatro é a1 = 4
● o último número divisível por 4 é igual a 111 menos o resto da divisão, então a27 = 111 - 3 = 108
● A soma de todos os múltiplos de 4 menores que 112 é igual a $\,S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;\Rightarrow$ $\;S_{27}\;=\;\dfrac{\,27(4 + 108)\,}{2}$ $\;=\;1512 \;$
3. Basta subtrair:
(soma dos inteiros menores que 112) menos (soma dos múltiplos de quatro menores que 112) = 6216 - 1512 = 4704.
c) A soma dos n primeiro termos é Sn = n(2n + 1)
Então a soma dos 20 primeiros termos é:
$\,S_{\large 20}\,=\,20(2\,\centerdot\,20\,+\,1)\,=\,820\,$
Para descobrir o 20º termo, vamos extrair da soma acima o valor da soma de todos os termos anteriores ao 20º, a saber, a soma de todos os termos até o 19º:
$\,S_{\large 19}\,=\,19(2\,\centerdot\,19\,+\,1)\,=\,741\,$
O vigésimo termo é então 820 - 741 = 79
a) a soma dos 6 primeiros termos é 1820 b)a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4 é 4704 c) o vigésimo termo é 79
×
(FUVEST)

a) Determinar a soma dos dez primeiros números naturais ímpares.
b) Qual é a soma dos n primeiros números naturais ímpares?


 



resposta: S10 = 100 ; Sn = n²
×
(VUNESP) Calcule a soma dos números naturais múltiplos de 3 , compreendidos entre 200 e 400 .

 



resposta: Sn = 20 100
×
Veja exercÍcio sobre: teoria dos conjuntos